Il principio di indeterminazione

L’interpretazione di Copenaghen della teoria dei quanta parte da un paradosso. Qualsiasi esperimento fisico, sia che si riferisca ai fenomeni della vita quotidiana o ad eventi atomici, deve essere descritto nei termini della fisica classica. I concetti della fisica classica formano il linguaggio per mezzo del quale descriviamo la preparazione dei nostri esperimenti e ne esprimiamo i risultati. Non possiamo né dobbiamo sostituire questi concetti con altri. Tuttavia l’applicazione di questi concetti risulta limitata dalle relazioni di incertezza. Dobbiamo tenere presente questa limitata area di applicabilità dei concetti classici mentre li applichiamo, ma non possiamo e non dovremmo sforzarci per migliorarli.

Per una migliore comprensione di questo paradosso è utile confrontare il procedimento per giungere all’interpretazione teoretica di un esperimento rispettivamente nella fisica classica e nella teoria dei quanta. Nella meccanica newtoniana, ad esempio, noi possiamo cominciare col misurare la posizione e la velocità del pianeta di cui ci accingiamo a studiare il movimento. Il risultato dell’osservazione viene tradotto in termini matematici derivando i numeri per le coordinate  e i momenti  del pianeta dall’osservazione. Poi vengono usate le equazioni del moto per derivare, da questi valori delle coordinate e dei momenti in un dato tempo, i valori delle coordinate o di qualsiasi altra proprietà del sistema per un qualsiasi punto successivo del tempo. In tal modo l’astronomo può predire le proprietà del sistema per qualsiasi momento del futuro. Può, ad esempio, predire il tempo esatto di un’eclisse di luna. Nella teoria dei quanta il procedimento è leggermente diverso. Potremmo, ad esempio, interessarci al moto di un elettrone dentro una camera a nebbia e potremmo determinare con diversi tipi di osservazione la posizione iniziale e la velocità dell’elettrone. Ma questa determinazione non sarà precisa. Conterrà per lo meno le inesattezze derivanti dalle relazioni d’incertezza e probabilmente errori ancora più grandi dovuti alla difficoltà dell’esperimento. È la prima di queste inesattezze che ci permette di tradurre il risultato dell’osservazione nello schema matematico della teoria dei quanta. Si scrive una funzione di probabilità che rappresenta la situazione sperimentale al momento della misurazione, includendo anche i possibili errori della misurazione.

Questa funzione di probabilità rappresenta la risultante di due fattori, in parte un danno di fatto e in parte la nostra conoscenza di un dato di  fatto. Rappresenta un dato di fatto in quanto assegna l’unità di probabilità (vale a dire piena certezza) alla situazione iniziale: l’elettrone che si muove con la velocità osservata nella posizione osservata; “osservata” significa osservata nei limiti dell’esattezza dell’esperimento. Rappresenta una nostra conoscenza in quanto un altro osservatore potrebbe forse determinare con maggior precisione la posizione dell’elettrone. L’errore contenuto nell’esperimento non rappresenta – almeno in certa misura – una proprietà dell’elettrone ma una deficienza nella nostra conoscenza dell’elettrone. Anche questa deficienza di conoscenza è espressa nella funzione di probabilità.

Nella fisica classica si potrebbe con una investigazione accurata considerare anche l’errore di osservazione. Si otterrebbe come risultato una distribuzione di probabilità per i valori iniziali delle coordinate e delle velocità e quindi qualche cosa di molto simile alla funzione di probabilità della meccanica quantica. Soltanto la necessaria incertezza dovuta alle relazioni d’incertezza manca nella fisica classica.

Quando la funzione di probabilità nella teoria dei quanta è stata determinata al momento iniziale dall’osservazione, è possibile dalle leggi della teoria dei quanta calcolare la funzione di probabilità per ogni tempo successivo e quindi la probabilità di una misurazione che dia un valore specifico della quantità misurata. Possiamo, ad esempio, prevedere la probabilità di trovare l’elettrone in un tempo successivo ad un dato punto della camera a nebbia. Bisognerebbe però sottolineare che la funzione di probabilità non rappresenta di per sé un corso di eventi svolgentisi nel corso del tempo. Rappresenta soltanto una tendenza per gli eventi e per la nostra conoscenza di essi. La funzione di probabilità può essere connessa con la realtà soltanto se si adempie una condizione essenziale: se viene fatta una nuova misurazione per determinare una certa proprietà del sistema. Soltanto allora la funzione di probabilità ci permette di calcolare il risultato probabile della nuova misurazione. Il risultato della misurazione sarà ancora espresso in termini di fisica classica.

Perciò, l’interpretazione teoretica di un esperimento richiede tre stadi distinti: (1) traduzione della situazione sperimentale iniziale in una funzione di probabilità; (2) accompagnamento di questa funzione lungo il corso del tempo; (3) determinazione di una nuova misurazione del sistema il cui risultato può poi essere calcolato dalla funzione di probabilità. Per il primo punto è condizione necessaria la determinazione delle relazioni d’incertezza. Il secondo punto non può venire descritto in termini di concetti classici; non vi è alcuna descrizione possibile di ciò che accade al sistema fra l’osservazione iniziale e la nuova misurazione. È soltanto nella terza fase che passiamo di nuovo dal “possibile” al “reale”.

Illustriamo queste tre fasi servendoci di un semplice esperimento ideale. Si è detto che l’atomo consiste di un nucleo e di elettroni che si muovono intorno al nucleo; è anche stato affermato che il concetto di orbita elettronica è incerto. Si potrebbe arguire che, almeno in linea di principio, sia possibile osservare l’elettrone nella sua orbita. Basterebbe osservare l’atomo attraverso un microscopio ad altissimo potere di scomposizione e si vedrebbe l’elettrone muoversi lungo la sua orbita. Tale altissima capacità di scomposizione non potrebbe essere certamente ottenuta da un microscopio che facesse uso della luce ordinaria, poiché l’imprecisione della misura della posizione non può mai essere più piccola della lunghezza d’onda della luce. Ci si servirà allora di un microscopio che utilizza i raggi gamma che hanno una lunghezza d’onda più piccola della dimensione dell’atomo. Un tale microscopio non è stato tuttavia costruito ma ciò non toglie che si possa discutere l’esperimento ideale.

È possibile il primo passo, ossia la traduzione del risultato dell’osservazione in una funzione di probabilità? È possibile soltanto se la relazione d’incertezza venga fatta dopo l’osservazione. La posizione dell’elettrone sarà nota con la precisione fornita dalla lunghezza d’onda del raggio gamma. Può essere che l’elettrone, precedentemente all’osservazione, si trovasse in uno stato di quiete. Ma all’atto dell’osservazione per lo meno un quantum di luce del raggio gamma deve avere attraversato il microscopio e deve essere stato deviato dall’elettrone. Perciò l’elettrone ha ricevuto un urto dal quantum di luce, ha mutato il suo momento e la sua velocità; e si può dimostrare come l’indeterminazione di questo mutamento è giusto grande abbastanza da garantire la validità delle relazioni d’indeterminazione. Non ci sono perciò difficoltà relative al primo punto.

Contemporaneamente si può facilmente vedere che non c’è alcun modo di osservare l’orbita dell’elettrone intorno al nucleo. La seconda fase mostra un pacchetto d’onde che si muove non intorno al nucleo ma allontanandosi dall’atomo perché il primo quantum di luce avrà colpito l’elettrone proiettandolo via dall’atomo. Il momento del quantum di luce del raggio gamma è molto più grande del momento originario dell’elettrone anche se la lunghezza d’onda del raggio gamma è molto più piccola della dimensione dell’atomo. Perciò, il primo quantum di luce è sufficiente a proiettare l’elettrone fuori dall’atomo e non è possibile osservare più di un punto nell’orbita di un elettrone; perciò non si può parlare di orbita, nel senso più stretto del termine. L’osservazione che segue – la terza fase – mostrerà l’elettrone che si allontana dall’atomo. Non esiste assolutamente alcuna possibilità di descrivere ciò che accade tra due osservazioni consecutive. Può essere certo allettante dire che l’elettrone deve essere stato in qualche posto fra le due osservazioni e che perciò deve aver descritto un certo percorso, o un’orbita, anche se può risultare impossibile sapere quale sia. Nella fisica classica questo sarebbe un argomento ragionevole. Ma nella teoria dei quanta costituirebbe un uso improprio di linguaggio che, come vedremo dopo, non può essere giustificato.

Lasciamo per ora aperta la questione se questa cautela sia da mettere in relazione al modo con cui si dovrebbe parlare degli eventi atomici o in relazione agli eventi  stessi, se si riferisca cioè all’epistemologia o all’ontologia. In ogni caso dobbiamo essere molto cauti nell’uso delle parole quando si tratta di affermazioni riguardanti il comportamento delle particelle atomiche.

In realtà non è affatto necessario parlare di particelle. Per molti esperimenti è molto più conveniente parlare di onde di materia; ad esempio, di onde di materia stazionarie intorno al nucleo atomico.

Una definizione del genere contraddirebbe l’altra definizione se non si prestasse attenzione ai limiti forniti dalle relazioni d’incertezza. Tenendo conto dei limiti la contraddizione è evitata. L’uso del termine “onde di materia” è conveniente, ad esempio, quando si tratta della radiazione emessa dall’atomo. Attraverso le sue frequenze e le sue intensità ci dà notizia sulla distribuzione della carica oscillante nell’atomo; e in questo caso la raffigurazione ondulatoria si avvicina molto di più alla verità che non la raffigurazione corpuscolare. Perciò Bohr si fece sostenitore dell’uso di entrambe le raffigurazioni che egli definì “complementari” l’una dall’altra. Naturalmente le due concezioni si escludono a vicenda, poiché una cosa non può essere nello stesso tempo un corpuscolo (vale a dire una sostanza limitata in un piccolissimo volume) ed un’onda (vale a dire un campo che si propaga per un ampio spazio). Ma l’una può essere il complemento dell’altra. Servendoci di entrambe le raffigurazioni, passando dall’una all’altra per ritornare poi alla prima, otteniamo infine la giusta impressione dello strano genere di realtà che si nasconde dietro gli esperimenti atomici. Bohr fa uso in molti punti del concetto di “complementarità” nell’interpretazione della teoria dei quanta. La conoscenza della posizione di una particella è complementare alla conoscenza della sua velocità o del suo momento. Se conosciamo la prima con molta precisione non possiamo conoscere con altrettanta precisione la seconda; tuttavia per conoscere il comportamento del sistema è necessario conoscere l’una e l’altra. La descrizione spazio – temporale degli eventi atomici è complementare alla loro descrizione deterministica. La funzione di probabilità obbedisce ad un’equazione di moto come facevano le coordinate nella meccanica newtoniana; i suoi mutamenti nel corso del tempo sono completamente determinati dall’equazione della meccanica quantica, ma non permettono una descrizione nello spazio e nel tempo. L’osservazione, d’altro lato, rafforza la descrizione nello spazio e nel tempo ma spezza la continuità determinata della funzione di probabilità modificando la nostra conoscenza del sistema.

In generale il dualismo fra le due diverse descrizioni della stessa realtà non costituisce più una difficoltà quando sappiamo dalla formulazione matematica della teoria che non possono sorgere contraddizioni. Il dualismo tra due rappresentazioni complementari – ondulatoria e corpuscolare – è anche chiaramente espresso nella flessibilità dello schema matematico. La sua espressione formale è analoga a quella della meccanica classica, con equazioni di moto per le coordinate e i momenti dei corpuscoli. Ma con una semplice trasformazione essa può essere riscritta a guisa di una equazione ondulatoria più un’ordinaria onda di materia a tre dimensioni. Perciò, questa possibilità di servirsi di diversi quadri complementari trova riscontro nelle diverse trasformazioni dello schema matematico; da ciò non sorge alcuna difficoltà per l’interpretazione di Copenaghen della teoria dei quanta.

Una difficoltà reale per la comprensione di questa interpretazione sorge, tuttavia, quindi ci si pone la famosa domanda: ma che cosa accade realmente in un evento atomico? Si è detto prima che il meccanismo e i risultati di un’osservazione possono sempre essere espressi nei termini dei concetti classici. Ma ciò che si deduce da un’osservazione è una funzione di probabilità, un’espressione matematica che combina affermazioni circa possibilità o tendenze con affermazioni sulla nostra conoscenza dei fatti. Così non possiamo oggettivare completamente il risultato di un’osservazione, non possiamo descrivere ciò che “accade” fra questa osservazione e quella che la segue. Ciò può fare apparire come se noi avessimo introdotto un elemento soggettivo nella teoria, come se noi intendessimo dire: ciò che accade dipende dal nostro modo di osservarlo o dal fatto che noi l’osserviamo. Prima di discutere questo problema della soggettivazione è necessario spiegare con assoluta chiarezza perché ci si invischierebbe in difficoltà irresolubili se si cercasse di descrivere ciò che accade tra due osservazioni consecutive.

A questo scopo è conveniente prendere in esame il seguente esperimento ideale: ammettiamo che una piccola sorgente di luce monocromatica venga irradiata verso uno schermo nero che contiene due piccoli buchi. Il diametro dei buchi può essere alquanto più grande della lunghezza d’onda della luce, ma la distanza che li separa sarà molto più grande.  Ad una certa distanza dietro lo schermo una lastra fotografica registra la luce incidente. Se si descrive questo esperimento nei termini della teoria ondulatoria, si dice che l’onda primaria penetra attraverso i due buchi; ci saranno delle onde sferiche secondarie partenti dai buchi che interferiranno reciprocamente, e l’interferenza produrrà una traccia caratteristica di intensità variante sulla lastra fotografica.

L’annerirsi della lastra fotografica costituisce un processo quantico, una reazione chimica prodotta dai singoli quanta di luce. Perciò deve essere anche possibile descrivere l’esperimento in termini di quanta di luce. Se fosse possibile dire ciò che accade al singolo quantum di luce fra la sua emissione dalla sorgente luminosa e il suo assorbimento nella lastra fotografica, si potrebbe ragionare come segue: il singolo quantum di luce può passare attraverso il primo buco o attraverso il secondo. Se passa attraverso il primo buco la sua probabilità di essere assorbito in un certo punto della lastra fotografica non può dipendere dal fatto che il secondo buco sia chiuso o aperto. La distribuzione di probabilità sulla lastra sarà la stessa che se fosse aperto solo il primo buco. Se si ripete l’esperimento molte volte e si mettono insieme tutti i casi in cui il quantum di luce ha attraversato il primo buco, l’annerirsi della lastra dovuto a questi casi corrisponderà a quella distribuzione di probabilità. Se si considerano soltanto quei quanta di luce che attraversano il secondo buco, l’annerirsi dovrebbe corrispondere a una distribuzione di probabilità derivata dal presupposto che soltanto il secondo buco sia aperto. L’annerimento totale, perciò, dovrebbe rappresentare esattamente la somma dell’annerimento nei due casi; in altre parole non dovrebbe esserci alcuno schema d’interferenza. Perciò, l’affermazione che ciascun quantum di luce deve essere passato o attraverso il primo o attraverso il secondo buco è problematica e conduce a delle contraddizioni. Questo esempio mostra chiaramente che il concetto della funzione di probabilità non permette una descrizione di ciò che accade fra due osservazioni. Qualsiasi tentativo di formulare una tale descrizione porterebbe a delle contraddizioni; il che sta a significare che il termine “avviene” è limitato all’osservazione.

Ora si tratta di un risultato molto strano, giacché sembra indicare che l’osservazione gioca un ruolo decisivo nell’evento e che la realtà varia a seconda che noi l’osserviamo o no.

È stato affermato all’inizio che l’interpretazione di Copenaghen della teoria dei quanta parte da un paradosso. Parte dal fatto che noi descriviamo i nostri esperimenti nei termini della fisica classica e nello stesso tempo dalla consapevolezza che essi non si accordano perfettamente con la natura. La tensione tra questi due punti di partenza è la radice del carattere statistico della teoria dei quanta. Perciò, è stato qualche volta suggerito di allontanarsi completamente dai concetti classici e che un cambiamento radicale nei concetti usati per descrivere gli esperimenti potrebbe forse ricondurre ad una descrizione della natura non statistica ma completamente obbiettiva.

Il suggerimento, tuttavia, poggia su un malinteso. I concetti della fisica classica non sono altro che un raffinamento dei concetti della vita quotidiana e sono parte essenziale del linguaggio che forma la base di ogni scienza naturale. Nella scienza la nostra situazione effettiva è tale che noi non possiamo non fare uso dei concetti classici per la descrizione degli esperimenti, ed il problema della teoria dei quanta è stato di trovare un’interpretazione teoretica degli esperimenti su tale base. Non serve a nulla discutere ciò che si potrebbe fare se noi fossimo esseri diversi da quello che siamo. Dobbiamo perciò metterci in testa, come ha detto von Weizsacker, che “la natura è prima dell’uomo, ma l’uomo è prima della scienza naturale”. La prima parte dell’aforisma giustifica la fisica classica, con il suo ideale di completa oggettività. La seconda parte ci dice perché non possiamo sfuggire al paradosso della teoria dei quanta, cioè alla necessità di servirci dei concetti classici.

Heisenberg, Fisica e filosofia. La rivoluzione nella scienza moderna